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煙台成人高考專科起點《高等數學》模擬試題08

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煙台成人高考專科起點《高等數學》模擬試題08

發布日期:2013-05-25 作者: 點擊:

模擬試卷(二)

一. 選擇題:本大題共5個小題,每小題4分,共20分。在每個小題給出的四個選項中,隻有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題後的括號內。

  *1. 函數 在點 不連續是因為(    )

    A.           B.

    C. 不存在            D. 不存在

    答案:C        不存在。

  2. 設 為連續函數,且 ,則下列命題正確的是(    )

    A. 為 上的奇函數

    B. 為 上的偶函數

    C. 可能為 上的非奇非偶函數

    D. 必定為 上的非奇非偶函數

  *3. 設有單位向量 ,它同時與 及 都垂直,則 為(    )

    A.            B.

    C.            D.

    解析:

    ,應選C。

  4. 冪級數 的收斂區間是(    )

    A.           B.           C.          D.

  *5. 按照微分方程通解的定義, 的通解是(    )

    A.                  B.

    C.                     D.

    (其中 是任意常數)

    解析: ,故選A。

 

二. 填空題:本大題共10個小題,10個空,每空4分,共40分,把答案填在題中橫線上。

  6. 設 為連續函數,則 ___________。

  *7. 函數 的單調遞減區間是___________。

    解析:

    當 時, ,故y單調遞減,故單調區間是(-2,1)

  8. 設 是 的一個原函數,則 ___________。

  *9. 設 ,則 ___________。

    解析:

  *10. 設 ,其中k為常數,則 ___________。

    解析:

       

  11. 設 ,則 ___________。

  *12. 微分方程 的通解為___________。

    解析:方程改寫為 ,兩邊積分得:

   

    即

  13. 點 到平麵 的距離 ___________。

  *14. 冪級數 的收斂區間是___________(不含端點)。

    解析: ,收斂半徑

    由 得: ,故收斂區間是(-3,5)

  15. 方程 的通解是______________________。

 

三. 解答題:本大題共13個小題,共90分,第16題~25題每小題6分,第26題~第28題每小題10分,解答時應寫出推理,演算步驟。

  16. 求極限 。

  *17. 設 ,求 。

    解:

           

    所以

  *18. 求函數 在區間 上的最大值與最小值。

    解:函數 在 處不可導,

    令 得駐點 ,求得

    於是y在 上的最大值為 ,最小值為

  19. 求不定積分 。

  20. 設 由方程 確定,求 。

  21. 若區域D: ,計算二重積分 。

  *22. 求過三點A(0,1,0),B(1,-1,0),C(1,2,1)的平麵方程。

    平麵方程為:

    ,即

  *23. 判定級數 的收斂性。

    解:因為 是公比 的等比級數從而收斂,再考察級數

    其中 滿足① ,②

    由萊布尼茲判別法知 收斂, 級數 收斂。(兩收斂級數之和收斂)

  24. 求方程 的一個特解。

  *25. 證明:

    解:

       

    又

   

    由<1>、<2>得:

    

                   

  26. 設 為連續函數,且 ,求 。

  *27. 設拋物線 過原點(0,0)且當 時, ,試確定a、b、c的值。使得拋物線 與直線 , 所圍成圖形的麵積為 ,且使該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積最小。

    解:因拋物線 過原點(0,0),有

    依題意,如圖所示陰影部分的麵積為

   

   

    該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為

   

     

   

           

    令 ,得駐點:

   

    由問題的幾何意義可知,當 ,從而 時,旋轉體的體積最小,於是所求曲線為

  *28. 求冪級數 的和函數,並由此求級數 的和。

    解:令 ,則 且有

   

    又

   

    於是

 


【試題答案】

一.

  1. C            不存在。

  2. C正確

    例: ,則 在 上非奇非偶,但 。

  3.

    ,應選C。

  4.

    故收斂區間是(-1,1),故選B。

  5. ,故選A。

二.

  6.

  7.

    當 時, ,故y單調遞減,故單調區間是(-2,1)

  8.

   

  9.

  10.

   

  11.

  12. 方程改寫為 ,兩邊積分得:

   

    即

  13. 點 到平麵 的距離公式為

    所求

  14. ,收斂半徑

    由 得: ,故收斂區間是(-3,5)

  15. 特征方程為: ,特征根為

    通解為

三.

  16. 解:

       

  17. 解:

           

    所以

  18. 解:函數 在 處不可導,

    令 得駐點 ,求得

    於是y在 上的最大值為 ,最小值為

  19. 解:令 , ,於是

     

   

   

  20. 解:令 ,則

   

    於是,

         

  21. 解:D用極坐標表示為

     

   

  22.

    平麵方程為:

    ,即

  23. 解:因為 是公比 的等比級數從而收斂,再考察級數

    其中 滿足① ,②

    由萊布尼茲判別法知 收斂, 級數 收斂。(兩收斂級數之和收斂)

  24. 解:特征方程為 ,特征值

    ,這裏 不是特征根,可設特解為:

   

    代入原方程並整理得:

   

    解得:

    於是

  25. 解:

       

    又

   

    由<1>、<2>得:

   

                   

  26. 解:令 ,則

   

   

    即

    於是

  27. 解:因拋物線 過原點(0,0),有

    依題意,如圖所示陰影部分的麵積為

   

   

    該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為

   

     

   

            

    令 ,得駐點:

   

    由問題的幾何意義可知,當 ,從而 時,旋轉體的體積最小,於是所求曲線為

  28. 解:令 ,則 且有

   

    又

   

    於是


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