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煙台成人高考專科起點《高等數學》模擬試題02

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煙台成人高考專科起點《高等數學》模擬試題02

發布日期:2013-05-25 作者: 點擊:

2012年成人高考高等數學預測試題

第Ⅰ卷(選擇題)

    本卷共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,隻有一項是符合題目要求的。

參考公式:

如果事件 互斥,那麽                         球的表麵積公式

                            

如果事件 相互獨立,那麽                     其中 表示球的半徑

                             球的體積公式

如果事件 在一次試驗中發生的概率是 ,那麽        

次獨立重複試驗中事件A恰好發生 次的概率      其中 表示球的半徑

一、選擇題

(1)已知全集 ={1,2,3,4,5,6,7,8}, ={1,3,5,7}, ={5,6,7},則 =

(A) {5,7}    (B) {2,4}       (C){2.4.8}     (D){1,3,5,6,7}

(2)函數y= (x 0)的反函數是

     (A) (x 0)                (B) (x 0)

     (B) (x 0)                (D) (x 0)

(3) 函數 的圖像

   (A) 關於原點對稱                    (B)關於主線 對稱

   (C) 關於 軸對稱                    (D)關於直線 對稱

(4)已知△ABC中, ,則

(A)            (B)            (C)        (D)

(5) 已知正四棱柱 中, = , 為 中點,則異麵直線 與 所形成角的餘弦值為

(A)          (B)           (C)       (D)

(6) 已知向量a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= ,則︱b ︱=

   (A)          (B)        (C)5        (D)25

(7)設 則

(A)      (B)     (C)    (D)

(8)雙曲線 的漸近線與圓 相切,則r=

(A)          (B)2            (C)3           (D)6

(9)若將函數 的圖像向右平移 個單位長度後,與函數 的圖像重合,則 的最小值為

(A)             (B)          (C)           (D)

(10)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有

(A)6種       (B)12種    (C)24種     (D)30種

(11)已知直線 與拋物線C: 相交A、B兩點,F為C的焦點。若 ,則k=

(A)            (B)           (C)          (D)

(12)紙質的正方體的六個麵根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北。現在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外麵朝上展平,得到右側的平麵圖形,則標“△”的麵的方位是

(A)南      (B)北        (C)西         (D)下

              

                         

 


 

第Ⅱ卷(非選擇題)

本卷共10小題,共90分。

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。把答案填寫在答題卡上相應位置的橫線上.

(13)設等比數列{ }的前n項和為 。若 ,則 =     ×       

(14) 的展開式中 的係數為     ×            

(15)已知圓O: 和點A(1,2),則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的麵積等於     ×       

(16)設OA是球O的半徑,M是OA的中點,過M且與OA成45°角的平麵截球O的表麵得到圓C。若圓C的麵積等於 ,則球O的表麵積等於     ×       

三、解答題:本大題共6小題,共70分。解答題應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。解答過程寫在答題卡的相應位置。

(17)(本小題滿分10分)

已知等差數列{ }中, 求{ }前n項和

 

 

(18)(本小題滿分12分)

設△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c, , ,求B.

 

 

(19)(本小題滿分12分)

如圖,直三棱柱 中, , 分別為 的中點, ⊥平麵

(Ⅰ)證明:

(Ⅱ)設二麵角 為60°,求 與平麵 所成的角的大小

A

C

B

A1

B1

C1

D

E

 

 

 

 

 

 

 

 


 

(20)(本小題滿分12分)

某車間甲組有10名工人,其中有4名女工人;乙組有10名工人,其中有6名女工人。現采用分層抽樣方法(層內采用不放回簡單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核。

(Ⅰ)求從甲、乙兩組各抽取的人數;

(Ⅱ)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

 

 

 

 

 

 

(21)(本小題滿分12分)

設函數 ,其中常數

(Ⅰ)討論 的單調性;

(Ⅱ)若當 ≥0時, 恒成立,求 的取值範圍。

 

 

(22)(本小題滿分12分)

已知橢圓 的離心率為 ,過右焦點 的直線 與 相交於 、 兩點,當 的斜率為1是,坐標原點 到 的距離為

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ) 上是否存在點 ,使得當 繞 轉到某一位置時,有 成立?

若存在,求出所有的 的坐標與 的方程;若不存在,說明理由。

 

 

 

 

 


 

2009年普通高等學校招生全國統一考試

文科數學試題參考答案和評分參考

一.選擇題

(1)C   (2)B   (3)A   (4)D    (5)C     (6)C

(7)B   (8)A   (9)D   (10)C   (11)D   (12)B

二.填空題

    (13)3   (14)6   (15)    (16)8π

三.解答題

 17. 解:

設 的公差為 ,則

解得 

因此

 

(18)解:

由 及 得

又由 及正弦定理得

故  ,

  或   (舍去),

於是 或 .

又由 知 或

所以

 

(19)解法一:

(Ⅰ)取BC中點F,連接EF,則EF ,從而EF DA。

連接AF,則ADEF為平行四邊形,從而AF//DE。又DE⊥平麵 ,故AF⊥平麵 ,

從而AF⊥BC,即AF為BC的垂直平分線,

所以AB=AC。

(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足為G,連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD,故∠AGC為二麵角A-BD-C的平麵角。由題設知,∠AGC=600.

設AC=2,則AG= 。又AB=2,BC= ,故AF= 。

由 得2AD= ,解得AD= 。

故AD=AF。又AD⊥AF,所以四邊形ADEF為正方形。

因為BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平麵DEF,因此平麵BCD⊥平麵DEF。

連接AE、DF,設AE∩DF=H,則EH⊥DF,EH⊥平麵BCD。

連接CH,則∠ECH為 與平麵BCD所成的角。

因ADEF為正方形,AD= ,故EH=1,又EC= =2,

所以∠ECH=300,即 與平麵BCD所成的角為300.

解法二:

(Ⅰ)以A為坐標原點,射線AB為x軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標係A—xyz。

設B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),

則 (1,0,2c),E( , ,c).

於是 =( , ,0), =(-1,b,0).由DE⊥平麵 知DE⊥BC,

=0,求得b=1,

所以    AB=AC。

(Ⅱ)設平麵BCD的法向量 則

令 , 則

又平麵 的法向量

由二麵角 為60°知, =60°,

故  ,求得

於是   , 

所以 與平麵 所成的角為30°

 

(20)解:

(Ⅰ)由於甲、乙兩組各有10名工人,根據分層抽樣原理,要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核,則從每組各抽取2名工人。

(Ⅱ)記 表示事件:從甲組抽取的工人中恰有1名女工人,則

              

(Ⅲ) 表示事件:從甲組抽取的2名工人中恰有 名男工人,

       表示事件:從乙組抽取的2名工人中恰有 名男工人,

       表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。

       與 獨立,  ,且

       

            

             

            

 

(21)解:

(Ⅰ)

由 知,當 時, ,故 在區間 是增函數;

當 時, ,故 在區間 是減函數;

當 時, ,故 在區間 是增函數。

綜上,當 時, 在區間 和 是增函數,在區間 是減函數。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當 時, 在 或 處取得最小值。

         

               

          

由假設知    即   解得

故 的取值範圍是(1,6)

 

(22)解:

(Ⅰ)設  當 的斜率為1時,其方程為 到 的距離為

    

故  ,

得 , =

(Ⅱ)C上存在點 ,使得當 繞 轉到某一位置時,有 成立。

由(Ⅰ)知C的方程為 + =6. 設

 (ⅰ)

C上的點 使 成立的充要條件是 點的坐標為 ,且

整理得

故                   ①

將 ,並化簡得

於是 , = ,

     

     代入①解得, ,此時

     於是 = , 即

     因此, 當 時, , ;

 當 時, , 。

(ⅱ)當 垂直於 軸時,由 知,C上不存在點P使 成立。

綜上,C上存在點 使 成立,此時 的方程為


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